Transformaciones Isométricas

Las transformaciones isométricas son transformaciones de figuras en el plano

La palabra isometría tiene su origen en el griego iso (igual

o mismo) y metria (medir), una definición cercana es igual medida. Existen tres tipos de isometrías: traslación, simetría y rotación.

Traslación:

Traslación del punto A a su imagen A' según el vector AA'

Se llama traslación de vector v a la isometría que a cada punto m del plano le hace corresponder un punto m' del mismo plano tal que mm' es igual a v.


Simetría


Simetría es la correspondencia exacta en la disposición regular de las partes o puntos de un cuerpo o figura con relación a un punto (centro), una recta (eje) o un plano. Se denominan: central, axial y especular o bilateral.


Simetría Central

La simetría central, en geometría, es una transformación en la que a cada punto se le asocia otro punto llamado imagen, que debe cumplir las siguientes condiciones:

a) El punto y su imagen están a igual distancia de un punto llamado centro de simetría.

b) El punto, su imagen y el centro de simetría pertenecen a una misma recta.

Simetría central del punto A.

Según estas definiciones, con una simetría central se obtiene la misma figura con una rotación de 180 grados.

Simetría axial

La simetría axial, en geometría, es una transformación respecto de un eje de simetría, en la cual, a cada punto de una figura se asocia a otro punto llamado imagen, que cumple con las siguientes condiciones:

a) La distancia de un punto y su imagen al eje de simetría, es la misma.

b) El segmento que une un punto con su imagen, es perpendicular al eje de simetría.

Simetría axial del punto A.

En la simetría axial se conservan las distancias pero no el sentido de los ángulos. El eje de simetría es la mediatriz del segmento AA'.

Composición de simetrías

Si se aplica la misma simetría dos veces, se obtiene una identidad.

Si se aplican dos simetrías respecto de ejes paralelos

, se obtiene una traslación cuyo desplazamiento es el doble de la distancia entre dichos ejes.

Si se aplican dos simetrías respecto de ejes que se cortan en O, se obtiene giro con centro en O, cuyo ángulo es el doble del que forman dichos ejes.

Rotación

Una rotación, en geometría, es un movimiento de cambio de orientación de un cuerpo, de forma que, dado un punto cualquiera del mismo, este permanece a una distancia constante de un punto fijo, y tiene las siguientes características:

• Un punto denominado centro de rotación.
• Un ángulo
• Un sentido de rotación

Rotación del punto A, respecto del punto O

Circunferencia

La circunferencia es una curva cerrada cuyos puntos están a igual distancia de otro fijo que se llama centro.

ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA

Radio (r): es el segmento que une el punto centro con cualquier punto de la circunferencia. El radio permite nombrar a la circunferencia. Para ello, se coloca el símbolo de circunferencia, y luego, dentro de un paréntesis redondo, colocamos la letra del punto centro, una coma y después el nombre del segmento que forma el radio. Si no tiene letras, lo identificamos con r.

Diámetro (d): es el segmento que une 2 puntos de la circunferencia, pasando por el punto centro. El diámetro equivale a la medida de 2 radios.

Cuerda: es un trazo que une 2 puntos de la circunferencia. Te presentamos la cuerda

La recta es tangente a la circunferencia. En este caso, la recta toca a la circunferencia en un punto. Este punto recibe el nombre de punto de tangencia. Si dibujamos el radio que une el centro con el punto de tangencia, siempre obtendremos un trazo perpendicular a la recta.

La recta es secante a la circunferencia. Esto quiere decir que la intercepta en 2 puntos y una parte de ella es cuerda de la circunferencia.

Punto exterior a una circunferencia: Es cuando la distancia del punto al centro es mayor que el radio.

Punto interior de una circunferencia: Es cuando la distancia del punto al centro es menor que el radio.

Propiedades:

1: Toda tangente a la circunferencia es perpendicular al radio.

2: Una recta es tangente a una circunferencia si es perpendicular al radio.

3: Dos circunferencias son iguales si tienen el mismo centro y el mismo radio (o diámetro).

Cuadriláteros

Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados.

La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a 360°.

Clasificación de cuadriláteros

Paralelogramos

Cuadriláteros que tienen los lados paralelos dos a dos.

Se clasifican en:

Cuadrado: Tiene cuatro lados y sus angulos son rectos

Rectangulo: Tiene lados iguales, dos a dos y cuatro angulos rectos

Rombo: Tiene los cuatro lados iguales.

Romboide: Tiene lados iguales dos a do s.

Trapecios

Cuadriláteros que tienen dos lados paralelos, llamados base mayor y base menor. Se clasifican en:

Trapecio rectangulo: Tiene un angulo recto

Trapecio Isosceles: Tiene dos lados no paralelos iguales

Trapecio Escaleno: No tiene ningun lado igual, ni angulo recto

Trapezoides

Son cuadrilateros que no tienen ningun lado igual ni paralelo

Triángulos

Un triángulo, es un polígono de tres lados; está formado por tres segmentos de recta que se denominan lados, o tres puntos no alineados que se llaman vértices.

La suma de los ángulos internos del triángulo siempre suman 180º.

Según sus lados se clasifican en:

• Triángulo equilátero: si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ángulos internos miden 60 grados)
• Triángulo isósceles: si tiene dos lados y dos ángulos iguales
• Triángulo escaleno: si todos sus lados y ángulos son distintos.

Según sus ángulos, pueden ser:

• Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.
• Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos son menores a 90°; el triángulo equilátero es un caso particular de triángulo acutángulo.
• Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son agudos (menor de 90°).

Perímetro de un triángulo

El perímetro de un triángulo es igual a la suma de sus tres lados.

Área de un triángulo

El área de un triángulo es igual a base por altura partido por 2.

La altura es la recta perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación).

POLIGONOS

Un polígono es la región interior de una línea poligonal cerrada y no cruzada. Sus elementos son: los lados, los vértices y las diagonales. A la línea que lo rodea se la llama contorno del polígono.

Podemos clasificar a los polígonos en regulares e irregulares, fijándonos en sus lados y, en cóncavos o convexos, fijándonos en sus ángulos.

Polígonos regulares y polígonos irregulares

Polígonos Regulares:

Son todos los polígonos cuyos lados y ángulos son iguales.

Una característica particular de los polígonos regulares, es que siempre pueden ser inscritos en una circunferencia. Por ejemplo, un cuadrado es un polígono regular de 4 lados. Si te fijas en el dibujo que está a continuación, podrás ver que todos sus puntos (A, B, C, D) tocan a la circunsferencia, sin embargo, en el triángulo que está al lado, sólo dos de sus puntos tocan a la circunsferencia (E, F), lo que nos muestra que es un polígono irregular.

Polígono Irregular:

decimos entonces que un polígono es irregular cuando sus lados no son iguales, y podemos ver también, que no todos sus puntos tocan la circunsferencia.

Clasificación según el número de sus lados

Según su número de lados los polígonos reciben l os siguientes nombres:

Triángulo : 3 lados.

Cuadrilatero: 4 lados

Pentágono: 5 lados .

Hexágono: 6lados .

Heptágono: 7 lados .

Octógono: 8 lados .

Eneágono: 9 lados .

Decágono: 10 lados .

Undecágono: 11 lados .

Dodecágono: 12 lados.

¿Cóncavo o Convexo?

Un polígono es convexo si todos sus ángulos interiores son menores de 180º y decimos que es un polígono cóncavo si al menos uno de sus ángulos interiores mide más de 180º

Ejemplos de formas poligonales en la naturale za

Para realizar ejercicios de ángulos te invitamos a realizar las siguientes guías:


PROBLEMAS VERBALES
http://www.sectormatematica.cl/pverbales/angulos.htm

EJERCICIOS
http://www.sectormatematica.cl/pverbales/angulosfig.htm

Euclides

Euclides (en griego Ευκλείδης, Eukleides) fue un matemático y geómetra griego, que vivió alrededor del año 300 a.C., ~ (325 a. C.) - (265 a. C.). Se le conoce como "El Padre de la Geometría"

Biografía Euclides

Su vida es poco conocida, salvo que vivió en Alejandría, Egipto. Existen algunos otros datos poco fiables. Ciertos autores árabes afirman que Euclides era hijo de Naucrates y se barajan tres hipótesis:

1. Euclides fue un personaje histórico que escribió Los Elementos y otras obras atribuidas a él.
2. Euclides fue el líder de un equipo de matemáticos que trabajaba en Alejandría. Todos ellos contribuyeron a escribir las obras completas de Euclides, incluso firmando los libros con el nombre de Euclides después de su muerte.
3. Las obras completas de Euclides fueron escritas por un equipo de matemáticos de Alejandría quienes tomaron el nombre Euclides del personaje histórico Euclides de Megara, que había vivido unos cien años antes.

Proclo, el último de los grandes filósofos griegos, quien vivió alrededor del 450, escribió importantes comentarios sobre el libro I de los Elementos, dichos comentarios constituyen una valiosa fuente de información sobre la historia de la matemática griega. Así sabemos, por ejemplo, que Euclides reunió aportes de Eudoxo en relación a la teoría de la proporción y de Teeteto sobre los poliedros regulares.

Su obra Los elementos, es una de las obras científicas más conocidas del mundo y era una recopilación del conocimiento impartido en el centro académico. En ella se presenta de manera formal, partiendo únicamente de cinco postulados, el estudio de las propiedades de líneas y planos, círculos y esferas, triángulos y conos, etc.; es decir, de las formas regulares. Probablemente ninguno de los resultados de "Los elementos" haya sido demostrado por primera vez por Euclides pero la organización del material y su exposición, sin duda alguna se deben a él. De hecho hay mucha evidencia de que Euclides usó libros de texto anteriores cuando escribía los elementos ya que presenta un gran número de definiciones que no son usadas, tales como la de un oblongo, un rombo y un romboide. Los teoremas de Euclides son los que generalmente se aprenden en la escuela moderna. Por citar algunos de los más conocidos:

• La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°.
• En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, que es el famoso teorema de Pitágoras

Ángulo

Se llama ángulo a la unión de dos rayos que tienen el mismo punto extremo. A los dos rayos se le llama lados del ángulo y a su punto extremo común se le llama vértice.

Elementos de un ángulo:

Vértice.- Es el origen "O" común de los rayos.

Lados.- Son los rayos que forman el ángulo.

Notación.- A un ángulo, se le denota con los siguientes símbolos

Bisectriz.- Bisectriz de un ángulo, es un rayo que partiendo del vértice divide al ángulo en dos ángulos iguales.

Tipos de ángulos

(Según medida)

Ángulo agudo: es aquél que posee un ángulo menor a 90º

Ejemplo:

Ángulo recto: es aquel ángulo que mide exactamente 90º

Ángulo obstuso: es aquél ángulo que mide más de 90º y menos de 180º

Ángulo extendido: Es aquel ángulo que mide exactamente 180º

Ángulo completo: Es aquel ángulo que mide 360º

Ángulos en rectas paralelas

Recuerda que una recta que corta a dos ó más rectas del plano recibe el nombre de recta secante. Cuando una recta secante corta a otras dos rectas, aparecen dos tipos de ángulos:

- Ángulos correspondientes: los ángulos a y e son correspondientes. Además, también son correspondientes d y h, b y f, c y g.

- Ángulos alternos: los ángulos b y h son alternos. También lo son los ángulos c y e.

Al intersectar una paralela por una recta llamada transversal o secante, se forman los siguientes tipos de ángulo:

Ángulos correspondientes: Son los que están al mismo lado de las paralelas y al mismo lado de la transversal.

Ángulos alternos internos: Son los que están entre las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal.

Ángulos alternos externos: Son los que "fuera" de las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal.

Las propiedades fundamentales de los ángulos entre paralelas son:

1. Los ángulos correspondientes son iguales entre sí.

2. Los ángulos alternos internos son iguales entre sí.

3. Los ángulos alternos externos son iguales entre sí.

Conceptos geométricos.

El espacio geométrico puede considerarse como el conjunto de todos los puntos del universo físico. Así, todo punto, recta y plano está en el espacio. También se encuentran los cuerpos geométricos, como cilindros, prismas, cubo, etc.

Punto:

Es la representación de una posición fija del espacio. No es un objeto físico, por lo tanto carece de forma y dimensiones, es un ser abstracto sin dimensiones. Esta es una idea intuitiva, y sólo es posible identificarlo por aproximaciones tales como la marca que deja un lápiz sobre el papel, o la marca de un objeto punzante sobre madera. El punto no tiene ni area, ni tamaño, solo es posible identificarlo por posición. Se les nomina por letras mayusculas:

. M .Q

. N

Recta:

Línea de dirección constante. Una recta puede ser definida por dos puntos a los que une recorriendo su menor distancia. Es el ente ideal que sólo posee una dimensión y contiene infinitos puntos. También se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, o sea no posee principio ni fin. La recta es ilimitada en sus dos sentidos.

Propiedades que tiene una recta:

• Por dos puntos cualesquiera pasa siempre una recta y solo una.
  
• Dos rectas que tienen puntos comunes coinciden
• Dos rectas distintas no pueden cortarse en mas de un punto.

Tipos de rectas

Rectas coincidentes

Dos rectas son coincidentes si todos sus puntos son comunes.

Rectas paralelas

Dos rectas son paralelas cuando no tienen ningún punto en común.











Rectas perpendiculares

Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman cuatro ángulos iguales de 90º.

Plano: Plano (Geometría)

Un plano es una superficie plana sin espesor. Se extiende hacia el infinito.

Sólo tiene dos dimensiones (ancho y largo), es el ente ideal que sólo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas.

Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos:

• Tres puntos no alineados.
• Una recta y un punto exterior a ella.
• Dos rectas paralelas.
• Dos rectas que se cortan.